¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?
Conoce que es un trinomio cuadrado perfecto.
El trinomio cuadrado perfecto es un tipo especial de factorización que puede ser usado para resolver ecuaciones algebraicas.
Recordemos que un trinomio es una expresión algebraica compuesta de tres términos que están conectados por adición o sustracción. De igual forma, un binomio es una expresión compuesta de dos términos. Entonces, un trinomio cuadrado perfecto puede ser definido como una expresión que es obtenida al elevar al cuadrado a un binomio.
¿Cómo reconocer un trinomio cuadrado perfecto?
Para reconocer a un trinomio cuadrado perfecto, tomamos en cuenta lo siguiente:
El primer y el último término deben ser cuadrados perfectos
El término del medio debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y del último término.
Una vez que hayamos identificado a un trinomio cuadrado perfecto, seguimos los siguientes pasos para factorizar.
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Pasos para factorizar
Paso 1: Identificar los números cuadrados en el primero y último término del trinomio.
Paso 2: Examina si es que el término del medio es positivo o negativo. Si es que el término del medio es positivo, los factores tendrán un signo más y si es que el término del medio es negativo, los factores tendrán un signo menos.
Paso 3: Escribimos los términos aplicando las siguientes identidades:
{{a}^2}+2ab+{{b}^2}={{(a+b)}^2}
{{a}^2}-2ab+{{b}^2}={{(a-b)}^2}
Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos
Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de la multiplicación de un número entero consigo mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son cuadrados perfectos — provienen de elevar al cuadrado cada número del 1 al 10. Observa que estos cuadrados perfectos también provienen de elevar al cuadrado los números negativos del −1 al −10, como (−1)( −1) = 1, (−2)( −2) = 4, (−3)( −3) = 9, etc.
Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la multiplicación de un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo, (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9. El trinomio x2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya conocemos.
Observa que en el trinomio x2 + 6x + 9, los términos a y c son cuadrados perfectos, como x2 = x • x, y 9 = 3 • 3. También el término central es dos veces el producto de los términos x y 3, 2(3)x = 6x.
Ahora veamos un ejemplo un poco distinto. El ejemplo anterior muestra cómo (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. ¿A qué es igual (x – 3)2? Aplicando lo que sabes sobre multiplicación de binomios, encuentras lo siguiente.
Observa: ¡(x + 3)2 = x2 + 6x + 9, y (x – 3)2 = x2 – 6x + 9! Aquí 9 puede escribirse como (−3)2, entonces el término centra es 2(−3)x = −6x. Entonces cuando el signo del término central es negativo, el trinomio puede factorizarse como (a – b)2.
Intentemos con otro ejemplo: 9x2 – 24x + 16. Observa que 9x2 es un cuadrado perfecto, porque(3x)2 = 9x2 y que 16 es un cuadrado perfecto, porque 42 = 16. Sin embargo, el término central, –24x es negativo, entonces intenta 16 = (−4)2. En este caso, el término central es 2(3x)( −4) = −24x. Por lo que el trinomio 9x2 – 24x + 16 es un cuadrado perfecto y se factoriza como (3x – 4)2.
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